第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题6

题面

六、（本题满分 14 分）设数列 $\{x_n\}$ 满足

$$x_0=\frac{1}{3},x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}(n\ge 0).$$

证明：无穷级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n$$

收敛，并求其和。

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 7 页。

题解（点击展开）

先注意到

$$x_{n+1}-x_n=-\frac{x_n(1-x_n{)}^2}{1-x_n+x_n^2}<0.$$

所以 (0<x_n\le1/3)，并且 (x_{n+1}\le(4/9)x_n)，从而 (x_n\to0)，级数收敛。

令 (h(x)=x/(1+x))，则 (h^{-1}(x)=x/(1-x))，且

$$x_{n+1}=h(h^{-1}(x_n)-x_n).$$

因此

$$x_n=h^{-1}(x_n)-h^{-1}(x_{n+1}).$$

逐项求和并令 (n\to\infty)，得

$$\sum _{n=0}^{\infty }{x}_n=h^{-1}(x_0)-h^{-1}(0)=\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}.$$

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　← 上一题 · 本卷末题 · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游