第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题3

题面

三、（本题满分 14 分）设 ${\Sigma }_1$ 是以 $(0,4,0)$ 为顶点且与曲面

$${\Sigma }_2:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{3}=1(y>0)$$

相切的圆锥面，求曲面 ${\Sigma }_1$ 与 ${\Sigma }_2$ 所围成的空间区域的体积。

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 4 页。

题解（点击展开）

在 (xOy) 平面上，椭圆

$$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$$

与顶点 ((0,4)) 的切点为 ((\pm3/2,1))。因此相切锥面与椭球面所围区域的体积，等于以 (y=1) 截面为底的圆锥体积减去椭球上帽的体积。

圆锥底面半径为 (3/2)，高为 (3)，故

$$V_1=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^2\cdot 3=\frac{9\pi }{4}.$$

椭球在 (1\le y\le2) 的截面面积为 (3\pi(1-y^2/4))，所以

$$V_2={\int }_1^{2}3\pi \left(1-\frac{y^2}{4}\right)\mathrm{d}y=\frac{5\pi }{4}.$$

所求体积为

$$V_1-V_2=\pi .$$

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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