第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题6

题面

六、（本题满分 14 分）设正项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

收敛，证明：存在收敛的正项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n,$$

使得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=0.$$

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

由 (\sum a_n) 收敛，对每个 (k=1,2,\ldots)，可取 (1<n_1<n_2<\cdots)，使得

$$\sum _{l=n_k}^{\infty }{a}_l<\frac{1}{3^k}.$$

定义

$$b_n=\{\begin{array}{ll}{a}_n,& 1\le n<n_1,\\ 2^k{a}_n,& n_k\le n<n_{k+1},k=1,2,\dots .\end{array}$$

当 (n\to\infty) 时，所在的区间编号 (k\to\infty)，故

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{k\to \infty }{\lim }{2}^{-k}=0.$$

同时

$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\le \sum _{n=1}^{n_1-1}{a}_n+\sum _{k=1}^{\infty }{2}^k\sum _{l=n_k}^{\infty }{a}_l<\sum _{n=1}^{n_1-1}{a}_n+\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^k<+\infty .$$

因此 (\sum b_n) 是收敛的正项级数。

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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