第14届 · 2022初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）

（1）极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{1-x^2}\cos x}{1+x^2-{\cos }^{2}x}=\underline{}.$$

（2）设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}g(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x\ge 1,\\ 1-x,& x<1,\end{array}$$

则复合函数 $f[g(x)]$ 的间断点为 $x=\underline{}$。

（3）极限

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(1-x{)}^3\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{x}^n=\underline{}.$$

（4）微分方程

$$x\ln x\sin y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\cos y(1-x\cos y)=0$$

的通解为

$$\underline{}.$$

（5）记

$$D=\left\{(x,y)|0\le x+y\le \frac{\pi }{2},0\le x-y\le \frac{\pi }{2}\right\},$$

则

$${\iint }_{D}y\sin (x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underline{}.$$

来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–5 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$\frac{1}{2};1;2;(x+C)\cos y=\ln x;\frac{\pi }{8}-\frac{{\pi }^2}{32}.$$

其中第（4）问令 (u=\cos y)，再令 (w=1/u)，可化为一阶线性方程，积分后得到 ((x+C)\cos y=\ln x)。第（5）问作代换 (u=x+y,\ v=x-y)，则 (0\le u,v\le\pi/2)，直接积分得 (\pi/8-\pi^2/32)。

题解来源：第14届(2022)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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