第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题4

题面

四、（本题满分 14 分）若对于 ${\mathbb{R}}^3$ 中半空间

$$\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x>0\}$$

内的任意有向光滑封闭曲面 $S$，都有

$${\iint }_{S}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y(xf(x)-f^{\prime }(x))\mathrm{d}z\mathrm{d}x-xz(\sin x+f^{\prime }(x))\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0.$$

其中 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上二阶导数连续，且

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0.$$

求 $f(x)$。

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

对题设曲面积分使用高斯公式，得到

$$x{f}^{\prime \prime }(x)-x{f}^{\prime }(x)+xf(x)-x\sin x=0.$$

因 (x>0)，故

$$f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime }(x)+f(x)=\sin x.$$

其通解为

$$f(x)=e^{x/2}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{3}x}{2}+C_2\sin \frac{\sqrt{3}x}{2}\right)+\cos x.$$

由 (\lim_{x\to0^+}f(x)=0) 得 (C_1=-1)；再由 (\lim_{x\to0^+}f’(x)=0) 得 (C_2=\sqrt3/3)。因此

$$f(x)=e^{x/2}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \frac{\sqrt{3}x}{2}-\cos \frac{\sqrt{3}x}{2}\right)+\cos x.$$

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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