第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题3

题面

三（12 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0,f(1)=1$。证明：

（1）存在 $x_0\in (0,1)$ 使得

$$f(x_0)=2-3x_0;$$

（2）存在 $\xi ,\eta \in (0,1)$，且 $\xi \ne \eta$，使得

$$[1+f^{\prime }(\xi )][1+f^{\prime }(\eta )]=4.$$

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令 (F(x)=f(x)-2+3x)，则 (F(0)=-2,F(1)=2)，由介值定理存在 (x_0) 使 (f(x_0)=2-3x_0)。

在 ([0,x_0]) 与 ([x_0,1]) 上分别使用拉格朗日中值定理，得存在 (\xi\ne\eta) 使

$$[1+f^{\prime }(\xi )][1+f^{\prime }(\eta )]=4.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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