第12届 · 2020初赛 · 非数类 · 题2

题面

二（10 分）设数列 $\{a_n\}$ 满足

$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{(n+1)(a_n+1)}(n\ge 1).$$

求极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n!a_n.$$

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由递推式

$$\frac{1}{a_{n+1}}=(n+1)\left(1+\frac{1}{a_n}\right)$$

逐次展开得

$$\frac{1}{a_{n+1}}=(n+1)!\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}.$$

故

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n!a_n=\frac{1}{e}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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