第12届 · 2020初赛 · 非数类

题面

一、填空题（每小题 6 分，共 30 分）

（1）极限

x \to 0 lim \frac{( x - sin x ) e ^{- x^{2}}}{1 - x ^{3} - 1} = .

（2）设函数

f (x) = (x + 1)^{n} e^{- x^{2}},

则 $f^{(n)} (- 1) =$ 。

（3）设 $y = f (x)$ 是由方程

arctan \frac{x}{y} = ln x^{2} + y^{2} - \frac{1}{2} ln 2 + \frac{π}{4}

确定的隐函数，且满足 $f (1) = 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为。

（4）已知

\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2},

则

\int_{0}^{+ \infty} \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin x sin ( x + y )}{x ( x + y )} d x d y = .

（5）设 $f (x), g (x)$ 在 $x = 0$ 的某一邻域 $U$ 内有定义，对任意 $x \in U, f (x) \neq = g (x)$ ，且

x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim g (x) = a > 0,

则

x \to 0 lim \frac{[ f ( x ) ] ^{g (x)} - [ g ( x ) ] ^{f (x)}}{f ( x ) - g ( x )} = .

来源：第12届 · 2020 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为
$- \frac{1}{3}; \frac{n !}{e}; y = 1; \frac{π ^{2}}{8}; a^{a} .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。