第11届 · 2019初赛 · 非数类 · 题6

题面

六（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上具有连续导数，满足

$$3[3+f^2(x)]f^{\prime }(x)=2[1+f^2(x){]}^2{e}^{-x^2},$$

且 $f(0)\le 1$。证明：存在常数 $M>0$，使得 $x\in [0,+\infty )$ 时，恒有 $|f(x)|\le M$。

来源：第11届 · 2019 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

方程可分离为

$$\int \frac{3+y^2}{(1+y^2{)}^2}\mathrm{d}y=\frac{2}{3}\int e^{-x^2}\mathrm{d}x.$$

积分得

$$\frac{y}{1+y^2}+2\arctan y=\frac{2}{3}{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t+C.$$

左侧函数严格递增；若 (f(x)\to+\infty)，取极限会与 (f(0)\le1) 导出的常数不等式矛盾。因此极限有限，取 (M=\max{|f(0)|,|L|})，即得 (|f(x)|\le M)。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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