第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题7

题面

七（本题满分 14 分）已知 $\{a_k\},\{b_k\}$ 是正数数列，且

$$b_{k+1}-b_k\ge \delta >0,k=1,2,\dots ,$$

$\delta$ 为一常数。证明：若级数

$$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$$

收敛，则级数

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sqrt[k]{(a_1{a}_2\cdots a_k)(b_1{b}_2\cdots b_k)}}{b_{k+1}{b}_k}$$

收敛。

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令 (S_k=\sum_{i=1}^ka_i)，则 (a_k=(S_k-S_{k-1})/b_k)。望远镜变换并利用 (b_{k+1}-b_k\ge\delta)，可证

$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{S_k}{b_k{b}_{k+1}}<\infty .$$

由算术—几何平均不等式

$$\sqrt[k]{(a_1\cdots a_k)(b_1\cdots b_k)}\le \frac{a_1{b}_1+\cdots +a_k{b}_k}{k}=\frac{S_k}{k},$$

所给级数被上面的收敛级数控制，故收敛。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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