第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题6

题面

六（本题满分 14 分）证明：对于连续函数 $f(x)>0$，有

$$\ln {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\ge {\int }_0^1\ln f(x)\mathrm{d}x.$$

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

把积分写成 Riemann 和，对每个分割应用算术—几何平均不等式：

$${\left[\prod _{k=1}^{n}f(x_k)\right]}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k).$$

取对数并令分割加细，得到 Jensen 型不等式

$$\ln {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\ge {\int }_0^1\ln f(x)\mathrm{d}x.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　← 上一题 · 下一题 → · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游