第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题5

题面

五（本题满分 14 分）设 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内可微，且

$$\sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}^2}\le M.$$

$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 是 $D$ 内两点，线段 $AB$ 包含在 $D$ 内。证明：

$$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|\le M|AB|,$$

其中 $|AB|$ 表示线段 $AB$ 的长度。

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令

$$\varphi (t)=f(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1)).$$

对 (\phi) 使用拉格朗日中值定理，再用梯度范数条件和柯西不等式，得

$$|f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|\le M\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}=M|AB|.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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