第10届 · 2018初赛 · 非数类 · 题4

题面

四（本题满分 12 分）计算三重积分

$${\iiint }_V(x^2+y^2)\mathrm{d}V,$$

其中 $V$ 是由

$$x^2+y^2+(z-2{)}^2\ge 4,x^2+y^2+(z-1{)}^2\le 9,z\ge 0$$

所围成的空间图形。

来源：2018年-第十届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

把区域拆成大球 (V_1)、小球 (V_2) 与大球在 (z<0) 的部分 (V_3)，分别用球坐标计算：

$${\iiint }_{V_1}(x^2+y^2)\mathrm{d}V=\frac{648\pi }{5},{\iiint }_{V_2}(x^2+y^2)\mathrm{d}V=\frac{256\pi }{15},{\iiint }_{V_3}(x^2+y^2)\mathrm{d}V=\frac{136\pi }{5}.$$

故

$${\iiint }_V(x^2+y^2)\mathrm{d}V=\frac{648\pi }{5}-\frac{256\pi }{15}-\frac{136\pi }{5}=\frac{256\pi }{3}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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