第8届 · 2016初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（14 分）设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且

$$I={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x\ne 0.$$

证明：在 $(0,1)$ 内存在不同的两点 $x_1,x_2$，使得

$$\frac{1}{f(x_1)}+\frac{1}{f(x_2)}=\frac{2}{I}.$$

来源：2016年-第八届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

由 (F(0)=0,F(1)=I\ne0)，存在 (\xi\in(0,1)) 使 (F(\xi)=I/2)。在 ([0,\xi]) 与 ([\xi,1]) 上分别使用拉格朗日中值定理，存在 (x_1,x_2\in(0,1)) 且 (x_1\ne x_2)，使

$$f(x_1)=\frac{I}{2\xi },f(x_2)=\frac{I}{2(1-\xi )}.$$

因此

$$\frac{1}{f(x_1)}+\frac{1}{f(x_2)}=\frac{2\xi }{I}+\frac{2(1-\xi )}{I}=\frac{2}{I}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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