第7届 · 2015初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（16 分）设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且

$${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0,{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=1.$$

试证：

（1）存在 $x_0\in [0,1]$ 使得 $|f(x_0)|>4$；

（2）存在 $x_1\in [0,1]$ 使得 $|f(x_1)|=4$。

来源：2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

若对所有 (x\in[0,1]) 都有 (|f(x)|\le4)，则

$$1={\int }_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)f(x)\mathrm{d}x\le 4{\int }_0^1\left|x-\frac{1}{2}\right|\mathrm{d}x=1.$$

等号条件与 (\int_0^1f(x),\mathrm dx=0) 矛盾，故存在 (x_0) 使 (|f(x_0)|>4)。又不可能处处 (|f(x)|\ge4)，否则连续性会迫使 (f) 在整个区间同号，与积分为零矛盾。因此存在 (|f(x)|<4) 的点；结合连续性，存在 (x_1) 使 (|f(x_1)|=4)。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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