第7届 · 2015初赛 · 非数类 · 题6

题面

第六题（16 分）设 $f(x,y)$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上有连续的二阶导数，且

$$f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2\le M.$$

若

$$f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0,$$

证明：

$$\left|{\iint }_{x^2+y^2\le 1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\le \frac{\pi \sqrt{M}}{4}.$$

来源：2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

在原点作二阶 Taylor 展开。由

$$f(x,y)=\frac{1}{2}{\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}f(\theta x,\theta y),0<\theta <1,$$

记二阶偏导组成的向量为 ((u,\sqrt2v,w))，则其范数不超过 (\sqrt M)，而 ((x^2,\sqrt2xy,y^2)) 的范数为 (x^2+y^2)。所以

$$|f(x,y)|\le \frac{\sqrt{M}}{2}(x^2+y^2).$$

在单位圆盘上积分，得到

$$\left|{\iint }_{x^2+y^2\le 1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\le \frac{\sqrt{M}}{2}{\iint }_{x^2+y^2\le 1}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi \sqrt{M}}{4}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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