第5届 · 2013初赛 · 非数类

题面

第六题（14 分）设

I_{a} (r) = \oint_{C} \frac{y d x - x d y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{a}},

其中 $a$ 为常数，曲线 $C$ 为椭圆

x^{2} + x y + y^{2} = r^{2},

取正向。求极限

r \to + \infty lim I_{a} (r) .

来源：2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

参考解答按 (a) 与 (1) 的大小分情况，得
$lim I_{a} (r) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, - \frac{3 π}{2}, - \infty, a > 1, a = 1, a < 1.$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。