第5届 · 2013初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（10 分）设

$$|f(x)|\le \pi ,f^{\prime }(x)\ge m>0(a\le x\le b),$$

证明：

$$\left|{\int }_a^b\sin f(x)\mathrm{d}x\right|\le \frac{2}{m}.$$

来源：2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

设 (y=f(x))，利用反函数换元，把积分化为关于 (y) 的振荡积分。由 (f’(x)\ge m>0)，分部积分后边界项受控，得到

$$\left|{\int }_a^b\sin f(x)\mathrm{d}x\right|\le \frac{2}{m}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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