第5届 · 2013初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、解答下列各题（共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）

（1）求极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\sin \pi \sqrt{1+4n^2}\right)}^n.$$

（2）证明广义积分

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$$

不是绝对收敛的。

（3）设 $y=y(x)$ 由

$$x^3+3x^{2}y-2y^3=2$$

所确定，求 $y(x)$ 的极值。

（4）过曲线 $y=\sqrt[3]{x}$（$x\ge 0$）上的点 $A$ 作切线，使得该切线与曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $\frac{3}{4}$。求点 $A$ 的坐标。

来源：2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

（1）利用

$$\sqrt{1+4n^2}-2n=\frac{1}{\sqrt{1+4n^2}+2n},$$

有 (n\sin(\pi\sqrt{1+4n^2})\to\pi/4)，故原极限为 (e^{\pi/4})。

（2）令

$$a_n={\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}\mathrm{d}x,$$

则 (a_n\ge2/[(n+1)\pi])，故 (\sum a_n) 发散，广义积分不是绝对收敛的。

（3）隐式求导得

$$y^{\prime }=\frac{x(x+2y)}{2y^2-x^2}.$$

由 (y’=0) 得 (x=0) 或 (x=-2y)，代回原方程得 ((0,-1)) 与 ((-2,1))。其中 (y(0)=-1) 为极大值，(y(-2)=1) 为极小值。

（4）设 (A=(t,\sqrt[3]t))。切线与 (x) 轴交点横坐标为 (-2t)，参考解答给出围成面积

$$S=\frac{3}{4}\sqrt[3]{t}.$$

由 (S=3/4) 得 (t=1)，所以 (A=(1,1))。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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