第4届 · 2012初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（12 分）求最小实数 $C$，使得满足

$${\int }_0^1|f(x)|\mathrm{d}x=1$$

的连续函数 $f(x)$ 都有

$${\int }_0^{1}f(\sqrt{x})\mathrm{d}x\le C.$$

来源：2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令 (x=t^2)，则

$${\int }_0^{1}f(\sqrt{x})\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}tf(t)\mathrm{d}t\le 2{\int }_0^1|f(t)|\mathrm{d}t=2.$$

参考解答用 (f_n(x)=nx^{n-1}) 逼近等号，故最小常数为

$$C=2.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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