第3届 · 2011初赛 · 非数类 · 题2

题面

第二题（本题两问，每问 8 分，共 16 分）设 $\{a_n{\}}_{n=0}^{\infty }$ 为数列，$a,\lambda$ 为有限数，求证：

（1）如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}=a;$$

（2）如果存在正整数 $p$，使得

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_{n+p}-a_n)=\lambda ,$$

则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{n}=\frac{\lambda }{p}.$$

来源：2011年第三届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

（1）这是 Cesàro 平均定理：若 (a_n\to a)，则

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\to a.$$

（2）按 (p) 个剩余类分组。对每个固定的 (i=0,1,\ldots,p-1)，由 (a_{n+p}-a_n\to\lambda) 及 Cesàro 定理，得相应分组的平均增量趋于 (\lambda/p)。合并有限个剩余类，得到

$$\frac{a_n}{n}⟶\frac{\lambda }{p}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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