第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（15 分）设 $l$ 是过原点、方向为 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$（其中 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$）的直线，均匀椭球

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1(0<c<b<a,\text{密度为 }1)$$

绕 $l$ 旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向 $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ 的最大值和最小值。

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

转动惯量为

$$I_l={\iiint }_E(x^2+y^2+z^2-(\alpha x+\beta y+\gamma z{)}^2)\mathrm{d}V,$$

计算椭球的二次矩得

$$I_l=\frac{4\pi abc}{15}\left[(b^2+c^2){\alpha }^2+(a^2+c^2){\beta }^2+(a^2+b^2){\gamma }^2\right].$$

因此最大值（绕 (z) 轴）为

$$\frac{4\pi abc}{15}(a^2+b^2),$$

最小值（绕 (x) 轴）为

$$\frac{4\pi abc}{15}(b^2+c^2).$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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