第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（15 分）设

$$a_n>0,S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k,$$

证明：

（1）当 $\alpha >1$ 时，级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{S_n^{\alpha }}$$

收敛；

（2）当 $\alpha \le 1$，且 $S_n\to +\infty$（$n\to \infty$）时，级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{S_n^{\alpha }}$$

发散。

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

设 (S_n=\sum_{k=1}^na_k)。当 (\alpha>1) 时，对 (x^{1-\alpha}) 用拉格朗日中值定理，得到

$$\frac{a_n}{S_n^{\alpha }}\le \frac{S_{n-1}^{1-\alpha }-S_n^{1-\alpha }}{\alpha -1},$$

右侧望远镜求和，故级数收敛。

当 (\alpha=1) 时，

$$\frac{a_n}{S_n}=1-\frac{S_{n-1}}{S_n},$$

若其级数收敛，则 (\prod S_{n-1}/S_n) 有正极限，与 (S_n\to\infty) 矛盾，故发散。若 (\alpha<1)，则最终 (S_n^{1-\alpha}\ge1)，从而 (a_n/S_n^\alpha\ge a_n/S_n)，也发散。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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