第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（15 分）设 $y=f(x)$ 由参数方程

$$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t),\end{array}t>-1$$

所确定，且

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}.$$

其中 $\psi (t)$ 具有二阶导数。曲线 $y=\psi (t)$ 与

$$y={\int }_1^{t^2}{e}^{-u^2}\mathrm{d}u+\frac{3}{2e}$$

在 $t=1$ 处相切。求函数 $\psi (t)$。

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由参数方程 (x=2t+t^2) 有 (x’=2(1+t),x”=2)，故

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{(1+t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t)}{4(1+t{)}^3}.$$

从而

$$(1+t){\psi }^{\prime \prime }-{\psi }^{\prime }=3(1+t{)}^2,$$

解得

$${\psi }^{\prime }(t)=(1+t)(3t+C_1).$$

参考答案中的相切条件（此处第二条曲线的附加项为常数 (3/(2e))）给出 (C_1=1/e-3,\ C_2=2)，所以

$$\psi (t)=t^3+\frac{t^2}{2e}+\left(\frac{1}{e}-3\right)t+2.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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