第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题2

题面

第二题（15 分）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上具有二阶导数，并且

$$f^{\prime \prime }(x)>0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\alpha >0,\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\beta <0,$$

且存在一点 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$。证明：方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 恰有两个实根。

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由 (f”>0)，(f’) 严格递增，并由两端极限知存在唯一 (x_) 使 (f’(x_)=0)。函数在 (x_*) 处取得唯一最小值。

又因 (f’) 在两端分别最终为正、为负，故 (f(x)\to+\infty)（(x\to\pm\infty)）。条件 (f(x_0)<0) 说明最小值为负，于是图像在最小值两侧各与 (x) 轴交一次，方程恰有两个实根。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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