第2届 · 2010初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、计算下列各题（本题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分，要求写出重要步骤）

（1）设

$$x_n=(1+a)(1+a^2)\cdots (1+a^{2^n}),|a|<1,$$

求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$。

（2）求

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x^2}.$$

（3）设 $s>0$，求

$$I_n={\int }_0^{+\infty }{e}^{-sx}{x}^n\mathrm{d}x(n=1,2,\dots ).$$

（4）设 $f(t)$ 有二阶连续导数，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，

$$g(x,y)=f\left(\frac{1}{r}\right),$$

求

$$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}.$$

（5）求直线

$$l_1:\{\begin{array}{l}x-y=0,\\ z=0,\end{array}$$

与直线

$$l_2:\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-1}$$

的距离。

来源：2010年第二届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

（1）利用 (1-a^{2^k}=(1-a^{2^{k-1}})(1+a^{2^{k-1}}))，得

$$(1-a)x_n=1-a^{2^{n+1}},\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{1}{1-a}.$$

（2）

$$x^2\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=x-\frac{1}{2}+o(1),$$

故极限为 (e^{-1/2})。

（3）分部积分：

$$I_n=\frac{n}{s}{I}_{n-1},I_0=\frac{1}{s},$$

所以 (I_n=n!/s^{n+1})。

（4）对径向函数 (f(1/r)) 使用二维极坐标拉普拉斯算子：

$$g_{xx}+g_{yy}=\frac{f^{\prime \prime }(1/r)}{r^4}+\frac{f^{\prime }(1/r)}{r^3}.$$

（5）用两异面直线的距离公式，方向向量叉积为 ((-1,1,-6))，故距离为

$$\frac{|(2,1,3)\cdot (-1,1,-6)|}{\sqrt{38}}=\frac{19}{\sqrt{38}}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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