第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题6

题面

第六题（10 分）设抛物线

$$y=a{x}^2+bx+2\ln c$$

过原点，当 $0\le x\le 1$ 时，$y\ge 0$，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$。试确定 $a,b,c$，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小。

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

过原点给出 (2\ln c=0)，故 (c=1)。由面积条件

$${\int }_0^1(a{x}^2+bx)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$$

并结合端点与非负条件，参考解答将 (b) 表为

$$b=\frac{2}{3}(1-a).$$

旋转体体积为

$$V=\pi {\int }_0^1(a{x}^2+bx{)}^2\mathrm{d}x=\pi \left[\frac{1}{5}{a}^2+\frac{1}{3}a(1-a)+\frac{4}{27}(1-a{)}^2\right].$$

求最小值得

$$a=-\frac{5}{4},b=\frac{3}{2},c=1.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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