第1届 · 2009初赛 · 非数类 · 题2

题面

第二题（5 分）求极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}}{n}\right)}^{e/x},$$

其中 $n$ 是给定的正整数。

来源：2009年第一届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

取对数并展开：

$$\ln \left(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}}{n}\right)=\frac{n+1}{2}x+o(x).$$

因此原极限为

$$\exp \left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e}{x}\cdot \frac{n+1}{2}x\right)=e^{e(n+1)/2}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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