题 30 · 递推平均的极限

题面

序列 $x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots$ 由下列条件定义：

x_{0} = a, x_{1} = b, x_{n + 1} = \frac{x _{n - 1} + ( 2 n - 1 ) x _{n}}{2 n}, n \geq 1.

这里 $a$ 与 $b$ 是已知数，试用 $a$ 与 $b$ 表示 $n \to \infty lim x_{n}$ 。

来源：主线教材 PDF 第 33–36 页（印刷页 26–29）。

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