题 26 · 极限题组 IX

题面

求下列极限。

（1）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right);$$

（2）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n+\frac{i^2+1}{n}};$$

（3）

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n!}\ln \left(1+\frac{2}{n}\right).$$

来源：主线教材 PDF 第 33–36 页（印刷页 26–29）。

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