题 7 · 指数因子与周期因子

题面

设 $y=f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上满足

$$f(x+T)=kf(x),$$

其中 $T$ 和 $k$ 是正常数。证明：$f(x)$ 可表示为

$$f(x)=a^x\phi (x),$$

其中 $a>0$，$\phi (x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。

题解（点击展开）

取

$a=k^{1/T}>0,$

并定义

$\phi (x)=\frac{f(x)}{a^x}.$

因为 $a^T=k$，所以

$$\phi (x+T)=\frac{f(x+T)}{a^{x+T}}=\frac{kf(x)}{a^x{a}^T}=\frac{f(x)}{a^x}=\phi (x).$$

因而 $\phi (x)$ 以 $T$ 为周期，并且 $f(x)=a^x\phi (x)$。

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