题 5 · 周期性的来源

题面

设对一切实数 $x$，有

$$f\left(\frac{1}{2}+x\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-f^2(x)}.$$

证明：$f(x)$ 是周期函数。

题解（点击展开）

根号有意义要求 $0\le f(x)\le 1$。另一方面，对任意实数 $y$，都可以写成 $y=x+\frac{1}{2}$，所以由题设右端可知

$f(y)\ge \frac{1}{2}.$

因而对任意 $x$，都有 $f(x)\ge \frac{1}{2}$。记 $u=f(x)$，则

$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\sqrt{u-u^2}.$

再把 $x+\frac{1}{2}$ 代入原式。因为

$$\left(\frac{1}{2}+\sqrt{u-u^2}\right)\left(\frac{1}{2}-\sqrt{u-u^2}\right)={\left(u-\frac{1}{2}\right)}^2,$$

且 $u\ge \frac{1}{2}$，所以

$$f(x+1)=\frac{1}{2}+\sqrt{{\left(u-\frac{1}{2}\right)}^2}=u=f(x).$$

故 $1$ 是 $f(x)$ 的一个周期。

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