题 4 · 奇偶性的构造

题面

设函数 $F(x)$ 是奇函数，

$$f(x)=F(x)\left(\frac{1}{a^x-1}+\frac{1}{2}\right),$$

其中 $a>0,a\ne 1$。证明：$f(x)$ 是偶函数。

题解（点击展开）

记

$A(x)=\frac{1}{a^x-1}+\frac{1}{2}.$

由于 $a\ne 1$，在公式有意义的点上，

$$A(-x)=\frac{1}{a^{-x}-1}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{a^x-1}-\frac{1}{2}=-A(x).$$

因此 $A(x)$ 是奇函数。又因为 $F(x)$ 是奇函数，所以

$$f(-x)=F(-x)A(-x)=(-F(x))(-A(x))=f(x).$$

故 $f(x)$ 是偶函数。

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