第11届 · 2019初赛 · 非数类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，共 5 小题，每小题 6 分）

（1）

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(e^{\sin x}+\sqrt[3]{1-\cos x}\right)-\sin x}{\arctan \left(4\sqrt[3]{1-\cos x}\right)}=\underline{}.$$

（2）设隐函数 $y=y(x)$ 由方程

$$y^2(x-y)=x^2$$

所确定，则

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{y^2}=\underline{}.$$

（3）定积分

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x=\underline{}.$$

（4）已知

$$\mathrm{d}u(x,y)=\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{3x^2-2xy+3y^2},$$

则 $u(x,y)=\underline{}$。

（5）设 $a,b,c,\mu >0$，曲面 $xyz=\mu$ 与曲面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

相切，则 $\mu =\underline{}$。

来源：第11届 · 2019 非数学类初赛原卷 PDF，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$\frac{1}{4};\int \frac{\mathrm{d}x}{y^2}=\frac{3y}{x}-2\ln \left|\frac{y}{x}\right|+C;$$ $${\int }_0^{\pi /2}\frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x=e^{\pi /2};$$ $$u(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \left[\frac{3}{2\sqrt{2}}\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{3}\right)\right]+C;$$ $$\mu =\frac{abc}{3\sqrt{3}}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　本卷首题 · 下一题 → · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游