第7届 · 2015初赛 · 非数类

题面

一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）

（1）极限

n \to \infty lim n (\frac{sin \frac{π}{n}}{n ^{2} + 1} + \frac{sin \frac{2 π}{n}}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{sin π}{n ^{2} + n})

的值为。

（2）设 $z = z (x, y)$ 由方程

F (x + \frac{z}{y}, y + \frac{z}{x}) = 0

所决定，其中 $F (u, v)$ 具有连续偏导数，且 $x F_{u} + y F_{v} \neq = 0$ ，则（结果要求不显含有 $F$ 及其偏导数）

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = .

（3）曲面 $z = x^{2} + y^{2} + 1$ 在点 $M (1, - 1, 3)$ 的切平面与曲面 $z = x^{2} + y^{2}$ 所围区域的体积为。

（4）函数

f (x) = {3, 0, x \in [- 5, 0), x \in [0, 5)

在 $(- 5, 5]$ 的傅里叶级数 $x = 0$ 收敛的值为。

（5）设区间 $(0, + \infty)$ 上的函数 $u (x)$ 定义为

u (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- x t^{2}} d t,

则 $u (x)$ 的初等函数表达式为。

来源：2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为
$\frac{2}{π}; z - x y; \frac{π}{2}; \frac{3}{2}; \frac{π}{2 x} .$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。