题 10 · 根的序列与渐近展开

题面

依次求解下列问题：

（1）证明方程

e^{x} + x^{2 n + 1} = 0

有唯一的实根 $x_{n}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）；

（2）证明 $n \to \infty lim x_{n}$ 存在，并求其值 $A$ ；

（3）证明当 $n \to \infty$ 时， $x_{n} - A$ 与 $\frac{1}{n}$ 是同阶无穷小。

来源：主线教材 PDF 第 42–43 页（印刷页 35–36）。

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