题 6 · 三角多项式的根

题面

设

f_{n} (x) = C_{n}^{1} cos x - C_{n}^{2} cos^{2} x + \dots + (- 1)^{n - 1} C_{n}^{n} cos^{n} x,

求证：

（1）对任意的自然数 $n$ ，方程 $f_{n} (x_{n}) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内仅有一根；

（2）设 $x_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ 满足 $f_{n} (x_{n}) = \frac{1}{2}$ ，则 $n \to \infty lim x_{n} = \frac{π}{2}$ 。

来源：主线教材 PDF 第 42–43 页（印刷页 35–36）。

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