第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题2

题面

二、（本题满分 14 分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，在 $x=0$ 处可导，且满足

$$f(x)=x^3+x^2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}-x{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t.$$

求函数 $f(x)$ 的表达式。

记号整理

原卷在定积分中仍使用字母 $x$。此处只把积分变量改记为 $t$，不改变题意。

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

记

$$a=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=f^{\prime }(0),b={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x.$$

由题设，

$$f(x)=x^3+a{x}^2-bx.$$

再由 (a=\lim_{x\to0}f(x)/x)，得 (a=-b)。另一方面，

$$b=\frac{1}{4}+\frac{a}{3}-\frac{b}{2}.$$

解得 (a=-3/22,\ b=3/22)，故

$$f(x)=x^3-\frac{3}{22}{x}^2-\frac{3}{22}x.$$

题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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