第17届 · 2025初赛 · 非数A类 · 题1

题面

一、填空题（本题满分 30 分，每小题 6 分）

（1）设函数

$$f(x)=x-\ln (1+x)-\frac{1}{2}x\sin x,g(x)=a{x}^3,$$

且满足

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1,$$

则 $a=\underline{}$。

（2）设平面过原点与点 $(6,-3,2)$，且与平面

$$4x-y+2z-8=0$$

垂直，则此平面方程为 $\underline{}$。

（3）

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{{\sin }^{2}x}\ln (1+t)\mathrm{d}t}{(\sqrt[3]{1+x^3}-1)\sin x}=\underline{}.$$

（4）设函数 $f(u,v)$ 具有一阶连续偏导数，$f(2,0)=3$，$f_u^{\prime }(2,0)=5$。又设 $z=z(x,y)$ 是由方程

$$xz=f(2x-y,xyz)$$

确定的隐函数，则

$${\frac{\partial z}{\partial x}|}_{x=1,y=0}=\underline{}.$$

（5）设曲线 $L$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 与平面 $x+y+z=3$ 的交线，则

$${\int }_L(x^2+2xy)\mathrm{d}s=\underline{}.$$

来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案合订本，试题 PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为

$$-\frac{1}{3};x+y-\frac{3}{2}z=0;\frac{3}{2};7;6\pi .$$

第（1）问使用 (\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)) 与 (\sin x=x-x^3/6+o(x^3))。第（4）问对隐式方程求导后在 ((x,y)=(1,0)) 处代入，得到 (\partial z/\partial x=7)。第（5）问利用交线关于坐标置换的对称性及 (x+y+z=3)，得到积分值 (6\pi)。

题解来源：第17届 2025 初赛非数 A 类试题及参考答案 PDF；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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