第15届 · 2023初赛 · 非数A类 · 题4

题面

四、（本题满分 14 分）设

$$I_n=n{\int }_1^a\frac{\mathrm{d}x}{1+x^n},a>1.$$

求极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$。

来源：第15届 2023 初赛非数 A 类参考答案合订本，PDF 第 5 页。

题解（点击展开）

令 (b=1/a)，作代换 (t=1/x)，则

$$I_n={\int }_b^1\frac{n{t}^{n-1}}{t(1+t^n)}\mathrm{d}t.$$

分部积分得

$$I_n=\ln 2-\frac{\ln (1+b^n)}{b}+{\int }_b^1\frac{\ln (1+t^n)}{t^2}\mathrm{d}t.$$

又 (0\le\ln(1+t^n)\le t^n)，故

$$0\le {\int }_b^1\frac{\ln (1+t^n)}{t^2}\mathrm{d}t\le \frac{1-b^{n-1}}{n-1}\to 0,$$

且 (\ln(1+b^n)\to0)。因此

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\ln 2.$$

题解来源：第15届(2023)初赛_非数A_参考答案(题目见汇总).pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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