第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题6

题面

六、（本题满分 14 分）设正数列 $\{a_n\}$ 单调减少且趋于零，

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n.$$

证明：若级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

发散，则积分

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln f(x)}{x^2}\mathrm{d}x$$

也发散。

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

级数 (\sum a_nx^n) 的收敛半径为 (+\infty)，所以 (f(x)) 在实轴上有定义。取整数 (p)，并令

$$\frac{e}{a_p}\le x\le \frac{e}{a_{p+1}}.$$

当 (k\le p) 时，由 (a_n) 单调减少，有 (a_kx^k\ge a_k e^k)，从而

$$f(x)\ge \sum _{k=1}^p(a_{k}x{)}^k\ge \sum _{k=1}^p{e}^k\ge e^p,$$

即 (\ln f(x)\ge p)。再取固定的 (n)，当 (X>e/a_n) 时，按上述区间分段积分，得到

$${\int }_1^X\frac{\ln f(x)}{x^2}\mathrm{d}x\ge \frac{1}{e}\sum _{p=1}^n{a}_p-\frac{n}{X}.$$

由于 (\sum_{p=1}^{\infty}a_p) 发散，令 (X\to+\infty)，便有

$$\underset{X\to +\infty }{\lim }{\int }_1^X\frac{\ln f(x)}{x^2}\mathrm{d}x=+\infty .$$

所以积分发散。

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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