第13届 · 2021初赛补赛 · 非数类 · 题5

题面

五、（本题满分 14 分）设

$$f(x)={\int }_0^x\left(1-\frac{\lfloor u\rfloor }{u}\right)\mathrm{d}u,$$

其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示小于等于 $x$ 的最大整数。试讨论

$${\int }_1^{+\infty }\frac{e^{f(x)}}{x^p}\cos \left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\mathrm{d}x$$

的敛散性，其中 $p>0$。

来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf，PDF 第 1–8 页。

题解（点击展开）

对 (x\ge1)，按整数区间分段计算可得

$$f(x)=\frac{1}{2}\ln x+O(1),$$

因而存在正常数 (C_1,C_2)，使得 (C_1\sqrt x\le e^{f(x)}\le C_2\sqrt x)。

当 (p>3/2) 时，

$$\left|\frac{e^{f(x)}}{x^p}\cos \left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\right|\le C_2{x}^{1/2-p},$$

所以积分绝对收敛。

当 (0<p\le3/2) 时，令 (\phi(x)=x^2-x^{-2})，则

$${\varphi }^{\prime }(x)=2\left(x+\frac{1}{x^3}\right),$$

且

$$\frac{e^{f(x)}}{x^p}\cos \varphi (x)=\frac{e^{f(x)}{x}^{3-p}}{2(x^4+1)}{\varphi }^{\prime }(x)\cos \varphi (x).$$

前面的系数最终单调递减并趋于零，而 (\int\phi’(x)\cos\phi(x),\mathrm dx=\sin\phi(x))，由狄利克雷判别法，积分收敛。

又因 (\cos^2\phi=(1+\cos2\phi)/2)，同理可知带 (\cos2\phi) 的部分收敛，而 (\int_1^{+\infty}e^{f(x)}x^{-p},\mathrm dx) 在 (p\le3/2) 时发散。因此原积分在此范围内不绝对收敛，结论为：

$$0<p\le \frac{3}{2}\text{ 时条件收敛；}p>\frac{3}{2}\text{ 时绝对收敛。}$$

题解来源：第13届(2021)初赛_非数_试题与答案.pdf；本阶段按对应参考答案转写，未逐步复核证明。

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