第8届 · 2016初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（14 分）某物体所在的空间区域为

$$\Omega :x^2+y^2+2z^2\le x+y+2z,$$

密度函数为 $x^2+y^2+z^2$，求质量

$$M={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$

来源：2016年-第八届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

平移并缩放

$$u=x-\frac{1}{2},v=y-\frac{1}{2},w=\sqrt{2}\left(z-\frac{1}{2}\right),$$

将区域化为单位球，再作球坐标积分，得到

$$M=\frac{5\sqrt{2}\pi }{6}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

导航

本卷：　← 上一题 · 下一题 → · 本卷目录

卷间：　上一卷 · 下一卷 · 过往题迹总目录

总入口：　回到数理漫游