第8届 · 2016初赛 · 非数类 · 题2

题面

第二题（14 分）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0$，且当 $x\in (0,1)$ 时，$0<f^{\prime }(x)<1$。试证：当 $a\in (0,1)$ 时，有

$${\left({\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x\right)}^2>{\int }_0^a{f}^3(x)\mathrm{d}x.$$

来源：2016年-第八届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令

$$F(x)={\left({\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\right)}^2-{\int }_0^{x}f(t{)}^3\mathrm{d}t,$$

再令 (g(x)=2\int_0^xf(t),\mathrm dt-f(x)^2)。由 (0<f’(x)<1) 得 (g’(x)>0)，故 (F(a)>0)。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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