第8届 · 2016初赛 · 非数类

题面

一、填空题（满分 30 分，每小题 5 分）

（1）若 $f (x)$ 在点 $x = a$ 处可导，且 $f (a) \neq = 0$ ，则

n \to + \infty lim [\frac{f ( a + 1/ n )}{f ( a )}]^{n} = .

（2）若 $f (1) = 0, f^{'} (1)$ 存在，则极限

I = x \to 0 lim \frac{f ( sin ^{2} x + cos x ) tan 3 x}{( e ^{x^{2}} - 1 ) sin x} = .

（3）设 $f (x)$ 有连续导数，且 $f (1) = 2$ 。记

z = f (e^{x} y^{2}),

若 $\frac{\partial z}{\partial x} = z$ ，则 $f (x)$ 在 $x > 0$ 的表达式为。

（4）设 $f (x) = e^{x} sin 2 x$ ，则 $f^{(4)} (0) =$ 。

（5）曲面

z = \frac{x ^{2}}{2} + y^{2}

平行于平面 $2 x + 2 y - z = 0$ 的切平面方程为。

来源：2016年-第八届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

五个填空依次为
$e^{f^{'} (a) / f (a)}; \frac{3}{2} f^{'} (1); f (x) = 2 x (x > 0); - 24; 2 x + 2 y - z = 3.$
题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。