第7届 · 2015初赛 · 非数类 · 题4

题面

第四题（14 分）求级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1{)}^n$$

的收敛域与和函数。

来源：2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

由比值判别法，收敛半径为 (+\infty)，故收敛域为 ((-\infty,+\infty))。分解

$$\frac{n^3+2}{(n+1)!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}(n\ge 2),$$

并分别求三个幂级数的和，得到

$$S(x)=\{\begin{array}{ll}(x^2-2x+2)e^{x-1}+\frac{e^{x-1}-1}{x-1},& x\ne 1,\\ 2,& x=1.\end{array}$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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