第7届 · 2015初赛 · 非数类 · 题3

题面

第三题（12 分）设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内二次可导，且存在常数 $\alpha ,\beta$，使得对于 $\forall x\in (a,b)$，有

$$f^{\prime }(x)=\alpha f(x)+\beta f^{\prime \prime }(x).$$

则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内无穷次可导。

来源：2015年第七届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

若 (\beta=0)，则逐次求导即可得到 (f^{(n)}=\alpha^nf)。

若 (\beta\ne0)，改写为

$$f^{\prime }=\frac{1}{\beta }{f}^{\prime \prime }-\frac{\alpha }{\beta }f.$$

右侧可导后，(f’) 继续可导；递推可知 (f) 在 ((a,b)) 内无穷次可导。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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