第5届 · 2013初赛 · 非数类 · 题5

题面

第五题（14 分）设 $\Sigma$ 是一个光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型的曲面积分

$$I={\iint }_{\Sigma }(x^3-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(2y^3-y)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(3z^3-z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

试确定曲面 $\Sigma$，使得积分 $I$ 的值最小，并求该最小值。

来源：2013年第五届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

用高斯公式把体积分化为

$$I={\iiint }_V(3x^2+6y^2+9z^2-3)\mathrm{d}V.$$

参考解答取椭球 (x^2+2y^2+3z^2\le1) 时达到最小值，结果为

$$I_{\min }=-\frac{8\pi }{5\sqrt{6}}=-\frac{4\pi \sqrt{6}}{15}.$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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