第4届 · 2012初赛 · 非数类 · 题7

题面

第七题（14 分）设

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{和}\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$$

为正项级数。

（1）若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_n}{a_{n+1}{b}_n}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)>0,$$

则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛；

（2）若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_n}{a_{n+1}{b}_n}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)<0$$

且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 发散，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散。

来源：2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 2 页。

题解（点击展开）

记

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{a_n}{a_{n+1}{b}_n}-\frac{1}{b_{n+1}}\right).$$

若 (L>0)，取 (\delta>0)，使充分大的 (n) 满足

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}-\frac{b_n}{b_{n+1}}>\delta b_n,$$

于是

$$a_{n+1}<\frac{1}{\delta }\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\right).$$

望远镜求和可知 (\sum a_n) 收敛。

若 (L<0)，则充分大的 (n) 有

$$\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{b_n}{b_{n+1}},a_{n+1}>\frac{b_{n+1}}{b_n}{a}_n.$$

迭代得 (a_{n+1}>(a_N/b_N)b_{n+1})。当 (\sum b_n) 发散时，由比较判别法 (\sum a_n) 发散。

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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