第4届 · 2012初赛 · 非数类 · 题6

题面

第六题（12 分）设 $f(x)$ 为连续函数，$t>0$。$\Omega$ 是由抛物面

$$z=x^2+y^2$$

和球面

$$x^2+y^2+z^2=t^2$$

所围成起来的部分。定义

$$F(t)={\iiint }_{\Omega }f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V,$$

求 $F^{\prime }(t)$。

来源：2012年第四届全国初赛-非数学类试卷.pdf，PDF 第 1 页。

题解（点击展开）

令

$$g(t)=\frac{\sqrt{1+4t^2}-1}{2}.$$

用球坐标考察厚度为 (\Delta t) 的球壳，得到

$$F^{\prime }(t)=\pi \left(2t+1-\sqrt{1+4t^2}\right)tf(t^2).$$

题解来源：对应卷别的参考解答 PDF；本阶段按原答案转写，未逐步复核证明。

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